Question

高等数学之微积分，第（4）题

Answer 1

(4) f'(x) = 1+ 2xarctanx = 1 + 2x∑<n=0,∞> (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)
= 1 + 2 ∑<n=1,∞> (-1)^n x^(2n)/(2n-1) ( -1< x ≤ 1 )
f(x) = ∫ <0, x> f'(t)dt + f(0) = x + 2 ∑<n=1,∞> (-1)^n x^(2n+1)/[(2n+1)(2n-1)] + 0
= x + 2 ∑<n=1,∞> (-1)^n x^(2n+1)/(4n^2-1) ( -1< x ≤ 1 )

追问

还是这位朋友啊...能不能用图片的形式，这样看不懂啊，好乱啊

追答

照相不便。很多人都懂都会这样表示。
说明如下：
x^n 表示 x 的 n 次方, a/b 表示 b 分之 a，
表示下标或上标
∑a = a+a+a+....
表示 n 从 0 到 无穷大连加和
∫ 表示从 0 到 x 积分

追问

有一步，把x乘进去，为什么变成了x^(2n)/2n-1而不是x^(2n+2)/2n+1？

追答

把 x 乘进去，变成了x^(2n+2)/(2n+1)
后边的级数从 n = 1 开始，则 变成 x^(2n)/(2n-1)

追问

为什么要换成从n=1开始？

追答

这个属于锦上添花，不化也行。
不化，只是后边 x^(2n+2) 看起来比较沉长， 不如 x^(2n) 简洁。