Question

已知 如图 AD平行BC ，E是线段CD的中点，AE平分角BAD 求证 BE平分角ABC

已知 如图 AD平行BC ，E是线段CD的中点，AE平分角BAD
求证 BE平分角ABC

Answer 1

在AB上取点F，使AF=AD

∵AF=AD      AE=AE          ∠FAE=∠DAE

 ∴△AFE全等于三角形AED

∴DE=EF     ∠AFD=∠D

∵AD平行BC

∴∠D+∠C=180°

∵∠AFD+∠BFE=180°

∴∠C=∠BFE

∵DE=EC   DE=EF 

∴DE=EF

∵BE=BE    ∠C=∠BFE

∴△BFE全等于△BCE

∴∠FBE=∠CBE

即BE平分∠ABC

Answer 2

取AB中点F，连结FE
∵E是线段CD的中点, AD‖BC
∴EF为梯形ABCD中位线，并且EF‖AD‖BC
∴∠DAE=∠AEF
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE=∠EAF
∴∠AEF=∠EAF
∴FA=FE
又∵F为AB中点
∴FA=FB
∴FE=FB
∴∠FEB=∠FBE
∵EF‖AD‖BC
∴∠FEB=∠EBC
∴∠FBE=∠EBC
∴BE平分∠ABC

Answer 3

过E作EF‖AD交AB于F，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠FAE
又∠DAE=∠AEF，
∴∠FAE=∠AEF，
∴AF=EF。
又E是CD的中点，
∴F也是AB的中点，(EF是梯形的中位线)
∴EF=BF，
∴∠BEF=∠FBE，
又∠BEF=∠CBE，
∴∠FBE=∠CBE，
∴BE是∠ABC的平分线。
证毕。