Question

已知：如图，在△ABC中，∠B=90°,D是边AB的中点，点E、F分别在边BC、AC上，且EF=EC，DF=DA。

求证：点D在∠BEF的平分线上。

Answer 1

证明：∵EF=EC,DF=DA
∴∠C=∠CFE,∠A=∠AFD
又∵∠B=90°
∴∠A+∠C=90°
∴∠CFE+∠AFD=90°
∴∠EFD=90°
∴DF⊥FE,DB⊥BE
又∵D是边AB的中点
∴AD=DB,DF=AD
∴DF=DB，DF⊥FE,DB⊥BE
∴点D在∠BEF的平分线上。

Answer 2

连结BF
因为直角三角形ABC,所以∠A+∠C=90°
因为EF=EC，DF=DA，所以∠DFA+∠CFE=∠A+∠C=90°
所以∠EFD=∠B
因为D是AB中点，所以DB=DA=DF
又因为DE=DE
所以可证三角形EFD与三角形EBD相似
所以∠FED=∠BED
所以点D在∠BEF的平分线上