Question

求证平面Ax+By+Cz+D=0的法向量为（A,B,C）

Answer 1

证明：在此平面内任取三个不共线的点E（x1,y1,z1), F(x2,y2,z2), G(x3,y3,z3),于是
Ax1+By1+Cz1+D=0, Ax2+By2+Cz2+D=0 , Ax3+By3+Cz3+D=0,
向量EF=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),所以向量EF·(A,B,C)=Ax2+By2+Cz2- Ax1+By1+Cz1=0
即有：向量EF与向量（A，B，C）垂直，同理向量EG与向量（A，B，C）也垂直
于是向量（A，B，C）是平面的法向量。

Answer 2

选取Ax+by+Cz+D=0的一组解(x0,y0,z0)，(这组解是存在的比如A不等于0，则这组解就是(-D/A,0,0))
Ax0+By0+Cz0+D=0
与
Ax+By+Cz+D=0
相减，
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
所以
平面Ax+By+Cz+D=0的法向量为（A,B,C）。

Answer 3

在y轴与z轴构成的平面内的点是满足x=0,而不是a=0。
a=0表示x可以取任何值。
对于yoz平面来说，x轴垂直它，ax+by+cz+d=0当a=0时也垂直它，所以这个平面和x轴平行