Question

一个不等式的证明

一个不等式的证明

Answer 1

题目中应该有 n>= 0, 否则， x^p 可能没定义。

又 n>=0, 即积分区间 可知： sinx>0, x^p + sinx>0
设 h(x) = x^p/sinx, 被积函数f(x) = sinx/(x^p + sinx)=1/ （h(x) + 1）
h'(x) = (px^(p-1) sinx - x^p cosx) / sin^2 x = (sinx - x/p cosx) * px^(p-1)/ sin^2 x,
注意到 在积分区间, x> 1.
存在 n pi + pi/4 <x0 < npi + pi/2 使得 h'(x0) = 0, 并且
当 n pi + pi/4 <x < x0时，h'(x) < 0
当时x0<x < npi + 3pi/4，h'(x) > 0
所以 h(x）在积分区间的最大值在端点达到。 可以看出 在x= x1 = npi + 3pi/4时, h（x)最大。
于是 f(x1) 是f(x) 在被积区间的最小值。 所以：
左式 > 积分区间长度 × min f(x) = pi/2 * f(x1) = pi/2 * 1/(x1^p/sinx1 + 1)
> pi/2 / ((n+1)^p * pi^p * sqrt(2) + 1) = pi/2sqrt(2) / ((n+1)^p * pi^p + 1/sqrt(2))
> pi/2sqrt(2) / ((n+1)^p * pi^p + 1)