Question

周长相等三角形中 为什么等边三角形的面积最大

Answer 1

如图：AB为长度为定值的木棒，有绳子ACB系在两端，现C是动点，则C的轨迹为椭圆（高中课本知识）

现在三角形ABC周长是定值了，显然C点运动到D或D'点时，面积最大（此时AB边上的高最大），在周长变化的情况下，对应的C点轨迹是不同的椭圆（圆是椭圆的特例），但总对应C点动运最高点或最低点面积最大

所以当周长一定时，设AB定长，能找到AC=BC时最大的面积，

得到的等腰三角形ABC，然后以同样的方法令等腰三角形ABC中AC点固定，B点运动，则AB=BC时又找到比上一个面积更大的三角形

......

不停的这样变化下去，最后AB，BC，AC相等时为极限变化，再找不到比AB，BC，AC相等时的三角形了

所以在周长一定时，等边三角形面积最大

Answer 2

提示一下：1.把三角形放在圆里面，则其面积可以划分为三个三角形的面积，把三个顶点设出来，做出三条边在的直线方程，然后利用点到直线的方程求出高，然后整理，有不等式知识知当三边相等是面积最大。2.利用正弦定理和余弦定理，再用三角函数的相关代换，也可以推出。希望对你有所帮助！