Question

求椭圆X^2/8+Y^2/5=1内以A(2.-1)点为中点的弦所在直线方程

Answer 1

设直线方程为y=kx+b，代入方程：
X^2/8+Y^2/5=1和点（2，-1）得：-1=2k+b
5x^2+8k^2x^2+16kbx+8b^2-40=0
（5+8k^2）x^2+16kbx+8b^2-40=0
设弦的两端点坐标为（x1，y1），（x2，y2）：
x1+x2=-16kb/（5+8k^2），y1+y2=kx1+b+kx2+b=k（x1+x2）+2b=10b/（5+8k^2）；
则有：2=（x1+x2）/2=-8kb/（5+8k^2），-1=（y1+y2）/2=5b/（5+8k^2）；
化解得：8kb-10b=0
（4k-5)b=0
知：k=5/4，b=-7/2
所以直线的方程为：y=5x/4-7/2

Answer 2

设椭圆的弦PQ的中点为A(2,-1),则P、Q关于A对称. P(x,y),则Q(4-x,-2-y),由于P、Q都是椭圆上的点，故：x^2/8+y^2/5=1,且(4-x)^2/8+(-2-y)^2/5=1,两式相减，可得：
（16-8y)/8+(4+4y)/5=0,即得直线 5x-4y-14=0 为所求.