Question

二次函数y=ax^2+bx+c,当x=3时函数取最大值10，且它的图像在x轴上截得的线段长为4，试求二次函数的表达式

Answer 1

给出顶点坐标，用顶点式求解析式。再用韦达定理求a.
解：
设函数解析式为y=a(x-h)^2+k （a不等于0）
由题意得，h=3,k=10
则，y=a(x-3)^2+10
即，y=ax^2-6ax+(9a+10)
设函数与x轴交点为x1,x2（x1<x2），则
x2-x1=4 ，
即（x2-x1）^2=16
即（x2+x1）^2-4*x2*x1=16（这里用了韦达定理，即根与系数的关系）
6^2- 4*(9a+10)/a=16
解得：a=- 5/2
将a=- 5/2代入y=ax^2-6ax+(9a+10)
所以，解析式为：y=-5/2x^2+15x-25/2

Answer 2

当x=3时,函数取最大值10,可知对称轴x=3，且a<0,设y=a(x-3)^2+10;
设与x轴交点为x1,x2(假设x1<x2)，则x2-x1=4,
又因为x1,x2关于对称轴对称，所以x1+x2=6
所以x1=1,x2=5
（1,0）代入y=a(x-3)^2+10，a=-5/2

Answer 3

y=-5/2x^2+15x-25/2