Question

此线性代数题目如何计算？谢谢！

Answer 1

X(n+1)=TX(n)+b;

Jacobi:T=[0 -3/4 0; -3/4 0 1/4; 0 1/4 0],b=[6; 7.5; -6];
Gauss-Seidel:T=[0 -3/4 0; 0 9/16 1/4; 0 9/64 1/16];b=[6; 3; -21/4];
Jacobi迭代矩阵[0 -3/4 0; -3/4 0 1/4; 0 1/4 0]，可以求出三个特征值为：
Sqrt[10]/4，-Sqrt[10]/4，0，谱半径为Sqrt[10]/4。

个人感觉矩阵形式更方便在计算器上运算，如果需要的话请追问，我补充分量形式。

追问

大哥，送佛送到西，您给我说说分量形式呗，谢谢啦！

追答

假设X=(x,y,z)，即Xn=(xn,yn,zn),
Jacobi:
xn+1=-3/4 * yn + 6;

yn+1=-3/4 * xn + 1/4*zn + 7.5;

zn+1=1/4 * yn - 6;
Gauss-Seidel:
xn+1=-3/4 * yn + 6;
yn+1=9/16 * yn + 1/4 * zn + 3;
zn+1=9/64 * yn + 1/16 * zn - 21/4;
注：Gauss-Seidel迭代相当于把之前的计算结果代入后面计算，所以分量形式也可以这么表示：
xn+1=-3/4 * yn + 6;

yn+1=-3/4 * xn+1 + 1/4*zn + 7.5;

zn+1=1/4 * yn+1 - 6;
两种Gauss-Seidel迭代的形式不同，但是其实是等价的。