Question

线性代数相似对角化的问题

已知的情况是，1，如果一个n阶矩阵存在n个不为零的特征值，则其行列式值一定不为零，也就是说，其逆矩阵存在，
2，如果一个n阶矩阵存在n个不为零的特征值，但是可能会有这样的情况，如果矩阵存在r个相等的非零特征值，此特征值对应的特征向量个数小于r，则就不存在这样的矩阵p使得矩阵a相似对角化，当然也就不能相似于单位矩阵，既该矩阵不存在逆矩阵，也就是该矩阵行列式值为0！！
请问困难在何处，有点乱了。
二楼可否说得再明白一些，比如你所提到的相似，等价，可逆之间的联系区别?我所知道的，好像秩相等就等等价

Answer 1

感觉你想从特征值的角度来讨论矩阵可逆，以及矩阵相似对角化的问题。作以下回答：

首先，n阶矩阵在复数域上一定存在n个特征值（可能有重复）。所以不用为是否有n个特征值烦恼。

其次，n阶矩阵行列式等于所有n个特征值的乘积。因此，如果存在n个不为零的特征值，那么矩阵一定可逆。

再次，你上面分析问题如下：确实矩阵特征值可能存在相等情况，但是并不代表此时线性无关的特征向量少于n个，存在这种情况：一个特征值对应多个特征向量。退一步，即使线性无关的特征向量少于n个，也就是说矩阵不可对角化，但是这与矩阵是否存在逆矩阵完全没有关系。如图的矩阵他是可逆（行列式不等于0），但是他不可对角化

Answer 2

重点是不相似于单位矩阵，并不说明不和单位矩阵等价.所以不能说他不可逆。
你模糊了两者之间的关系！