Question

请帮忙证明一下柯西极限存在准则，谢谢！

Answer 1

我证一下数列的吧。函数的可以仿证。
柯西准则：
数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m>N,n>N时就有|Xn-Xm|<ε
证明：
(1)充分性：依条件知：对于一给定的ε>0，存在正整数k，使得任意m>N，都有：
|X(k+1)-Xm|<ε，即X(k+1)-ε<Xm<X(k+1)+ε
即足项后数列有界，Xk前只有有限项，可知该数列一定有界。
由维尔斯特拉斯紧性原理知，该数列一定存在收敛子列。设该子列{Xkl}收敛于A，
那么由极限定义：对于任意ε>0，都存在正整数L，使得任意的kl>L，都有：
|Xkl-A|<ε,即 -ε<Xkl-A<ε (1)
又根据条件知，存在正整数M，使得任意的m>M，都有：
|Xkl-Xm|<ε，即 -ε<Xm-Xkl<ε (2)
(1)+(2)就有：
对于任意给定的ε，都存在正整数N=max{L,M},使得任意的m>N，都有：
-2ε<Xm-A<2ε
即足项后数列的任意项与A的距离可以小于任意正数，即该数列收敛于A。
(2)必要性：
已知Xn收敛于A，即对任意ε>0，都存在正整数N，使得任意m1>N,m2>N，都有：
-ε<Xm1-A<ε
-ε<A-Xm2<ε
两式相加就是：
|Xm1-Xm2|<2ε
证毕。