Question

r=3cosθ与r=1+cosθ围成图形的公共部分面积还有r=√2sinθ与r^2=cos2θ的公共部分面积

看不懂这个函数是什么图像。。郁闷。。。希望能多多解释，先谢谢了。。。

Answer 1

这是一组极坐标方程。r=3cosθ是以(1.5,0)为圆心，3为直径的圆；r=1+cosθ是帕斯卡蜗线的一种；r=√2sinθ是以(0,√2/2)为圆心，√2为直径的圆；r^2=cos2θ是双纽线的一种。
①为了计算“r=3cosθ与r=1+cosθ围成图形的公共部分面积”可先计算它们的交点：令3cosθ=1+cosθ，解得θ1=-π/3，θ2=π/3，在(-π/3，π/3)范围内显然3cosθ>1+cosθ,于是可得被积函数f=3cosθ-(1+cosθ)=2cosθ-1,(-π/3，π/3)实际上也是积分区间，由此得面积
S=(-π/3→π/3)∫(2cosθ-1)dθ
这积分请你自己计算。
②为了计算“r=√2sinθ与r^2=cos2θ的公共部分面积”，注意到两条曲线都关于y轴对称，而前者完全位于上半平面，故只需计算第一象限部分，再2倍即可。
由 (√2sinθ)²=cos2θ 解得 θ=π/6
而r^2=cos2θ=0 可得 θ=π/4，所以所围图形位于区间（π/6，π/4）内
S=2(π/6→π/4)∫|√2sinθ-√cos2θ|dθ
请注意该积分中有绝对值符号。

Answer 2

第一个问题还不简单啊，分类讨论：首先确定cosΘξ(0，1)假设两半径为r1、r2，当①r1=r1时随便算r注意条件②r1＞r2时算r2面积③r1＜r2算r1面积。答案是一个范围、及条件Θ的范围；第二题差不多