Question

求解!概率问题

已知 ax^2+bx+c=0
a,b,c 是可重复的任意的从1-9的整数(包括).
在所有的此类方程中(例如 3x^2+4x+1=0),随机选择一个,问选到有解方程的概率.

Answer 1

看看我的解题思路 问题就是找出b^2≥4ac的
建立直角一个坐标系，横坐标a，纵坐标b
a轴从1~9，b轴从1~9
在每个刻度做垂直于坐标轴的线，形成9行，9纵的一个表格
我们可以知道每个格子的面积是1，总共9*9=81个点
ac的意义就是表格每一个不在坐标轴上的点横纵坐标包的矩形的面积
ac=1只有1个点，那就是（1,1）
ac=2有2个点，是（1,2），（2,1）
同理ac=3是2个，ac=4是3个，ac=5是2个，ac=6是4个，ac=7是2个，ac=8是4个，ac=9是3个
，ac=10是2个，ac=12是4个，ac=14是2个，ac=15是2个，ac=16是3个，ac=18是4个，ac=20是2个，而ac=11,13,17,19不存在，注意，点围成的必须是矩形，而且刚好要相等，但是相乘数要小于9，也可以等价成一个由几组9以内的质数想成的问题
接下来就是用排列组合的知识了
算出b=1~9时 b^2/4的值 （你懂得）
没有小于1的面积，故b=1时肯定是不符合b^2/4≥ac的
b=2时，面积为1 小于1的ac有1一个（上面已经数出来了）而ac有81种排法，所以b=2时符合的概率就是（1/9）*（1/81）意义就是先选出b=2有1/9的概率，选出那一个有1/81的概率
同理b=2时概率就是（1/9）*（1/81+2/81)这里面积小于一得情况都要算上
以此类推到b=9 最后把所有的相加就得到总的概率
总的概率是（1/9）*（1/81+3/81+8/81+14/81+23/81+25/81+36/81+42/81）=152/729

推荐答案是错的

Answer 2

ax^2+bx+c=0
△ = b^2-4ac
有解方程 => b^2-4ac≥ 0
b = 1 no solution =>0
b = 2 a =1 , c=1, =>1
b = 3 a =1 , c=1,2
a =2, c=1 =>3
b = 4 a =1 , c=1,2,3,4
a =2, c=1,2
a =3, c=1
a=4, c=1 =>8
b = 5 a =1 , c=1,2,3,4,5,6
a =2, c=1,2,3
a =3, c=1,2
a=4, c=1
a=5, c=1
a=6, c=1 =>14
b = 6 a =1 , c=1,2,3,4,5,6,7,8,9
a =2, c=1,2,3,4
a =3, c=1,2,3
a=4, c=1,2
a=5, c=1
a=6, c=1
a=7, c=1
a=8, c=1
a=9, c=1 =>23
b = 7 a =1 , c=1,2,3,4,5,6,7,8,9
a =2, c=1,2,3,4,5,6
a =3, c=1,2,3,4
a=4, c=1,2,3
a=5, c=1,2
a=6, c=1,2
a=7, c=1
a=8, c=1
a=9, c=1 => 29
b = 8 a =1 , c=1,2,3,4,5,6,7,8,9
a =2, c=1,2,3,4,5,6,7,8
a =3, c=1,2,3,4,5
a=4, c=1,2,3,4
a=5, c=1,2,3
a=6, c=1,2
a=7, c=1,2
a=8, c=1,2
a=9, c=1 => 36
b = 9 a =1 , c=1,2,3,4,5,6,7,8,9
a =2, c=1,2,3,4,5,6,7,8,9
a =3, c=1,2,3,4,5,6
a=4, c=1,2,3,4,5
a=5, c=1,2,3,4
a=6, c=1,2,3
a=7, c=1,2
a=8, c=1,2
a=9, c=1,2 => 42

Total : 1+3+8+14+23+29+36+42 = 156

有解方程的概率 = 156/9^3 =156/729 = 52/243

Answer 3

此类方程的总数为9*9*9，方程有解须满足b^2-4ac>=0，引进(a,b)
b=1时，有0个
b=2时，有(1,1),1个
b=3时，有(1,1),(1,2),(2,1),3个
同理：b=4时，8个；b=5时，12个；b=6时，19个；b=7时，29个；b=8时，36个；b=9时，42个；
选到有解方程的概率p=(1+3+8+12+19+29+36+42)/(9*9*9)=50/273

Answer 4

用穷举法
b a c
1 1 1
2 1 1
3 1 1
1 2
1 3
2 1
3 1
4 1 1
1 2
1 3
1 4
2 1
2 2
3 1
4 1
b是5比4多了a，c是1，5还有2，3的组合就是多了4个
b是6比5多了a，c是1，6； 2，4； 3，3；这3个组合就是多了5个
b是7比6多了a，c是1，7； 2，5； 2，6； 3，4；这4个组合就是多了8个
b是8比7多了a，c是1，8； 2，7； 2，8； 3，5； 4，4；这5个组合就是多了9个
b是8比7多了a，c是1，9； 2，9； 3，6； 4，5；这4个组合就是多了8个
后面其实有规律的当b是2是1个，3是5个，4是8个，5是12个，6是17个，7是25个，8是34个，9是42个加起来是144个，概率是144/243