Question

数列{an}满足a1=3/2,an+1=an^2-an+1(n属于正整数),则m=1/a1+1/a2+……+1/a2009的整数部分是？

Answer 1

解：由题知，a(n+1)-1=a(n)*(a(n)-1),1/(a(n+1)-1)=1/[a(n)*(a(n)-1)=1/(a(n)-1)-1/a(n);
得1/(a(n)-1)-1/(a(n+1)-1)=1/a(n)，通过累加的方法得，
1/a1+1/a2+……+1/a2009= 1/(a1-1)-1/(a2010-1)=2-1/(a2010-1)
由a(n+1) - a(n)=(a(n)-1)^2≥0 ,即a(n+1)≥a(n), 由a1=3/2,得a2=7/4,得a3=2又5/16.
所以，a2010≥a009≥a2008≥……≥a3>2,即 0<1/(a2010-1)<1
由m=2-1/(a2010-1),即1<m<2 ， 所以m的整数部分为1。

谢谢！

Answer 2

an+1=an^2-an+1 => a(n+1) - 1 = an(an -1) => 1/[a(n+1) - 1] = 1/(an -1) - 1/an =>
1/an = 1/(an -1) - 1/[a(n+1) - 1] =>
m = 1/a1+1/a2+……+1/a2009 = 1/（a1-1） - 1/（a2010-1） = 2 - 1/（a2010 -1）

又 a(n+1) = an^2 - an + 1 => a(n+1) = (an - 0.5) + 0.75 > 0
又 a(n+1) = an^2 - an + 1 => a(n+1) - an = (an - 1)^2 >0 (显然不会等，因为等的话an就等于0去了)，所以a2010 > a2 = 2
所以 m 是一个大于1小于2的数,所以m的整数部分是 1