Question

定积分题目

设f(x)与g(x)在[a,b]上连续，证明：
（1）若在[a,b]上f(x)>=0，且∫ f(x) dx=0,则在[a,b]上f(x)恒等于0
（2）若在[a,b]上f(x)>=g(x),且∫ f(x) dx=∫g(x) dx,则在[a,b]上f(x)恒等于g(x)
注：∫ 右上标为b，下标为a

Answer 1

（1）用反证法
不妨设存在一点p，使f(p)>0,那么连续函数由保号性，存在p一个领域(p-c,p+c),
当x∈(p-c,p+c)时，f(x)>0
∫ f(x) dx =∫ f(x) dx <从a到p-c> + ∫ f(x) dx <从p-c到p+c> +∫ f(x) dx <从p+c到b>
>= ∫ f(x) dx <从p-c到p+c> >0
与∫ f(x) dx = 0 矛盾。
所以f(x)=0

（2）f(x)>=g(x)，则f(x)-g(x)>=0,
∫ f(x) dx=∫g(x)dx，则∫ f(x) dx - ∫g(x)dx = ∫ (f(x) -g(x))dx =0
由（1）结论有f(x)-g(x)=0,

证毕

Answer 2

∫ f(x) dx [a,b]
= area under the curve y= f(x) , from a->b
if f(x))>=0 and ∫ f(x) dx=0
=> f(x) = 0

if f(x)>=g(x),
let h(x)= f(x) - g(x)
then h(x) >=0
∫ h(x) dx = 0 [a,b]
=> h(x) =0
=> f(x) = g(x)