Question

过椭圆x^2/9+y^2=1的左焦点作直线交椭圆于A、B,若弦AB的长恰好等于短轴长,求直线A

Answer 1

答案：直线AB的方程为： y=(√3/3)x+(2√6)/3和 y=－(√3/3)x－(2√6)/3
解题过程：由题得：a=3 b=1 c=2√2 e=(2√2)/3
设过点F(-2√2, 0)的直线方程为：y=k(x+2√2) ,即，直线AB的方程：y=kx+2√2k 与椭圆相交于 A(x1,y1) B(x2,y2)
由椭圆的统一圆锥曲线定义，AF=a+ex1 BF=a+ex2
因为 AF+BF=AB=2b=2
所以 2a+e(x1+x2) =2 , 2*3+ (2√2)/3(x1+x2)=2
所以 x1+x2=－3√2 y1+y2=k(x1+x2)+(4√2)k=(√2)k
因为，A(x1,y1) B(x2, y2)在椭圆X^2/9+y^2=1 上
所以 (x1)^2/9+(y1)^2=1------------------------------------------------------------（1）
(x2)^2/9+(y2 )^2=1------------------------------------------------------------（2）
（1）-（2）得：[(x1)^2-(x2)^2]/9+(y1)^2-(y2 )^2=0
所以 ，-9[(y1-y2)/(x1-x2)=(x1+x2)/(y1+y2)
所以 -9k=(-3√2)/(√2)k (注：这里k是直线AB的斜率，所以k=(y1-y2)/(x1-x2))
所以 k²=1/3
所以 k=√3/3 或k=－√3/3
所以，所求直线AB的方程为：y=(√3/3)x+(2√6)/3 或 y=－(√3/3)x－(2√6)/3
解毕！