Question

内接于半圆且以直径为一边的三角形为直角三角形,用向量法证明?

Answer 1

设AB在直径上，C在圆上，半径为R
向量AC=向量OC-向量OA，向量BC=向量OC-向量OB
则向量AC*向量BC=（向量OC-向量OA）（向量OC-向量OB）
=R^2-R^2cosq角COB-R^2cos角AOC-R^2
= -R^2cosq角COB-R^2cos角AOC
因为角COB+角AOC=180，cos角COB+角AOC=0，
所以-R^2cosq角COB-R^2cos角AOC=0
所以AC垂直于BC

Answer 2

设直径AB, A(-r,0);B(r,0) ,P(rcosx,rsinx)半圆上
AP向量(rcosx+r,rsinx) BP向量(rcosx-r,rsinx)
AP dot BP=(rcosx+r)(rcosx-r)+(rsinx)(rsinx)=r^2(cosx)^2 -r^2 +r^2(sinx)^2
=r^2[(cosx)^2+(sinx)^2)- r^2 =r^2 -r^2 =0 => AP垂直BP