Question

讨论反常积分的敛散性

积分在图片里，谢谢。

Answer 1

反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。首先要记住两类反常积分的收敛尺度：

对第一类无穷限  而言，当x→+∞时，f(x)必为无穷小，并且无穷小的阶次不能低于某一尺度，才能保证收敛；

对第二类无界函数  而言，当x→a+时，f(x)必为无穷大。且无穷小的阶次不能高于某一尺度，才能保证收敛；这个尺度值一般等于1，注意识别反常积分。[2] 

Answer 2

答：
我前几天回答过类似题目，不过那个更深一些。
http://zhidao.baidu.com/question/202061499.html
作不定积分：
∫dx/(x(lnx)^k)
当k=1时，上式=ln(lnx)+C，当x->+∞发散；
当k≠1时，不定积分则
=1/(-k+1)*(lnx)^(-k+1) + C
当k<1，x->+∞时发散。
当k>1时，limx->+∞ 1/(-k+1)*(lnx)^(-k+1) = 0
所以定积分∫(2到+∞) dx/[x(lnx)^k]
=0-1/(-k+1)*(ln2)^(-k+1)
=[(ln2)^(1-k)]/(k-1)
即当k<=1时发散，k>1时收敛。