Question

一道高二数学题（请进！请详细说明！谢谢！）

椭圆ax^2+by^2=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点，C是AB的中点，若|AB|=2√2，OC的斜率为（√2）/2，求椭圆的方程。

Answer 1

设A（x1,y1) 、B(x2,y2) ，则
y1=1-x1,y2=1-x2 ∴y1-y2=x2-x1
由ax^2+by^2=1与x+y-1=0得
ax²+b(1-x)²=1即（a+b)x²-2bx+b-1=0
x1+x2=2b/(a+b), x1x2=(b-1)/(a+b)
由|AB|=2√2得
√（x1-x2)²+（y1-y2)²=2√2
√2（x1-x2)²=2√2
（x1-x2)²=4
(x1+x2)²-4x1x2=4
4b²/(a+b)²-4（b-1)/(a+b)=4
a²+b²+3ab-a-b=0 (1)
C((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
即C(b/(a+b), a/(a+b) )
∵OC的斜率为（√2）/2
∴a/b=（√2）/2 (2)
联立（1）（2）得a=1/3, b=√2/3
∴椭圆的方程为x²/3+√2y²/3=1

Answer 2

联立直线与圆的方程 当然，设A（x1,y1) B(x2,y2) 由弦长公式得一个方程 再由AB中点C与原点连线斜率得第二个方程 解出ab即可