Question

设椭圆方程为(y^2)/4+x^2=1，过点M(0,1)的直线L交椭圆于点A,B,O是坐标原点，点P满足OP=1/2（OA+OB)，

设椭圆方程为(y^2)/4+x^2=1，过点M(0,1)的直线L交椭圆于点A,B,O是坐标原点，点P满足OP=1/2（OA+OB)[其中OP,OA,OB均为向量]，点N的坐标为（1/2.，1/2）。当L绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程
（2）向量NP的绝对值的最大值与最小值

Answer 1

(1).解：直线L过M(0,1)当直线L⊥x轴时：OA+OB=0，则OP=0，则P点为原点(0,0)当直线L不垂直x轴时：设L斜率为k，则直线L方程为：y=kx+1联立椭圆4x²+y²=4和直线y=kx+1，得：4x²+k²x²+1+2kx=4，即(k²+4)x²+2kx-3=0则x1+x2=-2k/(k²+4)则y1+y2=(kx1+1)+(kx2+1)=k(x1+x2)+2=-2k²/(k²+4)+2=8/(k²+4)OA=(x1,y1)，OB=(x2,y2)，则OA+OB=(x1+x2,y1+y2)=(-2k/(k²+4),8/(k²+4))则OP=1/2(OA+OB)=(-k/(k²+4),4/(k²+4))即P点坐标为(-k/(k²+4),4/(k²+4))令x=-k/(k²+4)，y=4/(k²+4)............(思路：利用x/y=-k/4，x/(y-1)=1/k求解此参数方程，当然这里忽略了y=0和y=1，不过将前面的除法变成乘法就可以避免这个问题，之所以没有变，是为了让你了解如何解此参数方程，此过程不必写在解题过程中)得：4x²+y²-y=0，即x²/(1/4)²+(y-1/2)²/(1/2)²=1此方程为中心在(0,1/2)，长轴为1，短轴为1/2，交点在y轴的椭圆动点P的轨迹方程为x²/(1/4)²+(y-1/2)²/(1/2)²=1...........(此处判断不出椭圆也没关系，答案写4x²+y²-y=0依然算解答完毕)(2).解：P点轨迹的参数方程为：x=1/4cosθ，y=1/2+1/2sinθ则|PN|²=(x-1/2)²+(y-1/2)²=(1/4cosθ-1/2)²+(1/2sinθ)²=1/16cos²θ+1/4-1/4cosθ+1/4-1/4cos²θ ..........此处利用了sin²θ=1-cos²θ=-3/16cos²θ-1/4cosθ+1/2=-3/16(cos²θ+4/3cosθ)+1/2=-3/16(cosθ+2/3)²+7/12∵cosθ∈[-1,1]则cosθ+2/3∈[-1/3,5/3]则(cosθ+2/3)²∈[0,25/9]则-3/16(cosθ+2/3)²∈[-25/48,0]则-3/16(cosθ+2/3)²+7/12∈[1/16,7/12]即|PN|²∈[1/16,7/12]则|PN|∈[1/4,√21/6]即|NP|的最大值为√21/6，最小值为1/4