Question

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1）如图，已知抛物线的顶点A（0，1），矩形CDEF的顶点C，F在抛物线上，D、E在轴上，CF交Y轴于点B（0，2），且其面积为8
P是抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过P,Q作X轴垂线PS，QR
1、求证：PB=PS
2、判断三角形SBR形状

Answer 1

1、∵抛物线的顶点A（0，1）
∴抛物线y=kx²+1
又因为矩形CDEF的顶点C，F在抛物线上，D、E在轴上，CF交Y轴于点B（0，2），且其面积为8
∴C，F纵坐标与B相同都为2，即CD=2,FE=2
S=CD×DE=8，即DE=4，D（-2,0），E（2,0）
C（-2,2），F（2,2）
∵C，F在抛物线上
∴2=k2²+1,2=k(-2)²+1 得k=¼
y=¼x²+1 P(a,¼a²+1) a≠0（不与A点重合） S（a，0）
PS=¼a²+1 ， PB²=OS²+(PS-OB)² （P点在B下方时括号内为OB-PS，不影响计算结果）
PB²=a²+(¼a²+1-2)²=(¼a²+1)²=PS
2、PQ所在直线解析式为y=kx+2（B在PQ上），因为 P(a,¼a²+1) a≠0
所以有¼a²+1=ka+2，k=¼a-1/a， y=(¼a-1/a)x+2
PQ与抛物线相交于P、Q两点即y=(¼a-1/a)x+2，y=¼x²+1公共解为P、Q两点坐标
(¼a-1/a)x+2=¼x²+1，化简得x²-(a-4/a)x-4=0
根据根与系数关系（韦达定理）知，两根和为a-4/a，其中一根P的横坐标为a，知Q横坐标为-4/a
即R（-4/a，0）
BS²=OS²+OB²=a²+4
BR²=OB²+OR²=4+16/a²=4(a²+4)/a²
RS=RO+OS=｜-4/a｜+｜a｜=｜(a²+4)/a｜
RS²=(a²+4)²/a²=(a²+4)+4(a²+4)/a²=BS²+BR²
即三角形SBR为直角三角形，∠B为直角