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1)如图,已知抛物线的顶点A(0,1),矩形CDEF的顶点C,F在抛物线上,D、E在轴上,CF交Y轴于点B(0,2),且其面积为8P是抛物线上不同于A的一点,连结PB并延...
1)如图,已知抛物线的顶点A(0,1),矩形CDEF的顶点C,F在抛物线上,D、E在轴上,CF交Y轴于点B(0,2),且其面积为8
P是抛物线上不同于A的一点,连结PB并延长交抛物线于点Q,过P,Q作X轴垂线PS,QR
1、求证:PB=PS
2、判断三角形SBR形状 展开
P是抛物线上不同于A的一点,连结PB并延长交抛物线于点Q,过P,Q作X轴垂线PS,QR
1、求证:PB=PS
2、判断三角形SBR形状 展开
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1、∵抛物线的顶点A(0,1)
∴抛物线y=kx²+1
又因为矩形CDEF的顶点C,F在抛物线上,D、E在轴上,CF交Y轴于点B(0,2),且其面积为8
∴C,F纵坐标与B相同都为2,即CD=2,FE=2
S=CD×DE=8,即DE=4,D(-2,0),E(2,0)
C(-2,2),F(2,2)
∵C,F在抛物线上
∴2=k2²+1,2=k(-2)²+1 得k=¼
y=¼x²+1 P(a,¼a²+1) a≠0(不与A点重合) S(a,0)
PS=¼a²+1 , PB²=OS²+(PS-OB)² (P点在B下方时括号内为OB-PS,不影响计算结果)
PB²=a²+(¼a²+1-2)²=(¼a²+1)²=PS
2、PQ所在直线解析式为y=kx+2(B在PQ上),因为 P(a,¼a²+1) a≠0
所以有¼a²+1=ka+2,k=¼a-1/a, y=(¼a-1/a)x+2
PQ与抛物线相交于P、Q两点即y=(¼a-1/a)x+2,y=¼x²+1公共解为P、Q两点坐标
(¼a-1/a)x+2=¼x²+1,化简得x²-(a-4/a)x-4=0
根据根与系数关系(韦达定理)知,两根和为a-4/a,其中一根P的横坐标为a,知Q横坐标为-4/a
即R(-4/a,0)
BS²=OS²+OB²=a²+4
BR²=OB²+OR²=4+16/a²=4(a²+4)/a²
RS=RO+OS=|-4/a|+|a|=|(a²+4)/a|
RS²=(a²+4)²/a²=(a²+4)+4(a²+4)/a²=BS²+BR²
即三角形SBR为直角三角形,∠B为直角
∴抛物线y=kx²+1
又因为矩形CDEF的顶点C,F在抛物线上,D、E在轴上,CF交Y轴于点B(0,2),且其面积为8
∴C,F纵坐标与B相同都为2,即CD=2,FE=2
S=CD×DE=8,即DE=4,D(-2,0),E(2,0)
C(-2,2),F(2,2)
∵C,F在抛物线上
∴2=k2²+1,2=k(-2)²+1 得k=¼
y=¼x²+1 P(a,¼a²+1) a≠0(不与A点重合) S(a,0)
PS=¼a²+1 , PB²=OS²+(PS-OB)² (P点在B下方时括号内为OB-PS,不影响计算结果)
PB²=a²+(¼a²+1-2)²=(¼a²+1)²=PS
2、PQ所在直线解析式为y=kx+2(B在PQ上),因为 P(a,¼a²+1) a≠0
所以有¼a²+1=ka+2,k=¼a-1/a, y=(¼a-1/a)x+2
PQ与抛物线相交于P、Q两点即y=(¼a-1/a)x+2,y=¼x²+1公共解为P、Q两点坐标
(¼a-1/a)x+2=¼x²+1,化简得x²-(a-4/a)x-4=0
根据根与系数关系(韦达定理)知,两根和为a-4/a,其中一根P的横坐标为a,知Q横坐标为-4/a
即R(-4/a,0)
BS²=OS²+OB²=a²+4
BR²=OB²+OR²=4+16/a²=4(a²+4)/a²
RS=RO+OS=|-4/a|+|a|=|(a²+4)/a|
RS²=(a²+4)²/a²=(a²+4)+4(a²+4)/a²=BS²+BR²
即三角形SBR为直角三角形,∠B为直角
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