Question

各项为正的数列(an)的前n项和为Sn,若10Sn=an^2+5an+6,求其通项公式

Answer 1

解：由10S(n)=a(n)^2+5a(n)+6 ;10S(n-1)=a(n-1)^2+5a(n-1)+6。 则两式相减得
10a(n)=(a(n)+a(n-1))*(a(n)-a(n-1))+5a(n)-5a(n-1)
即5(a(n)+a(n-1))=(a(n)+a(n-1))*(a(n)-a(n-1)),由数列的各项为正，所以(a(n)+a(n-1))≠0。
所以，a(n)-a(n-1)=5，由累加法得 a(n)-a(1)=5(n-1)
由10S(1)=a(1)^2+5a(1)+6,即a(1)^2-5a(1)+6=0 得a(1)=2或3
所以，通项公式为an=5n-2 或an=5n-3。

谢谢！

Answer 2

10Sn=an^2+5an+6
10Sn-1=an-1^2+5an-1+6
10a1=10S1=a1^2+5a1+6可解a1=2or 3
做差
10an=an^2-an-1^2+5(an-an-1)
5(an+an-1)=an^2-an-1^2
an>0故an+an-1!=0
an-an-1=5
为等差数列，在利用上面求出的首项可写出通项公式