Question

确定函数f(x)=根号2sin(2x-π/4)的定义域,值域,单调区间,奇偶性和周期性

确定函数f(x)=根号2sin(2x-π/4)的定义域,值域,单调区间,奇偶性和周期性 过程

Answer 1

∵函数f(x)= √2sin(2x-π/4)
其定义域为R；值域为[-√2, √2]
令f’(x)= 2√2cos(2x-π/4)=0
X1=kπ+3π/8，X2=kπ-π/8
f’’(x)=- 4√2sin(2x-π/4)==> f’’(x1)<0，∴函数f(x)在x1处取极大值；f’’(x2)<0，∴函数f(x)在x2处取极小值；
∴kπ-π/8<x< kπ+3π/8，函数f(x)单调增；kπ+3π/8<x< (k+1)π-π/8，函数f(x)单调减；
∵f(-x)= √2sin[-(2x+π/4)] = -√2sin(2x+π/4)，∴函数f(x)为非奇非偶函数
函数f(x)为周期函数，周期为π

Answer 2

（1）根据函数sinx的单调区间性质及其最值有：
-1<=sin(2x-π/4)<=1
即sin(3/4π+2nπ)<=sin(2x-π/4)<=sin(1/2π+2nπ)
解得：1/2π+nπ<=x<=3/8π+nπ，即为函数f(x)=√2sin(2x-π/4)的定义域。
（2）由（1）得函数f(x)=√2sin(2x-π/4)的值域为：[-√2，√2]
（3）求函数f(x)=√2sin(2x-π/4)的导数f(x)'=2√2cos(2x-π/4)
当f(x)'>=0时，即2x-π/4>=π/2+2nπ，解得：x>=3/8π+nπ(舍去)
当f(x)'<=0时，即2x-π/4<=π/2+2nπ，解得：x<=3/8π+nπ
由（1）的定义域得知：当1/2π+nπ<=x<=3/8π+nπ时，函数单调递减。
（4）求f(-x)=-√2sin(2x+π/4)≠f(x)
所以函数f(x)=根号2sin(2x-π/4)为奇函数。
（5）由（2）得当1/2π+nπ<=x<=3/8π+nπ时，函数单调递减
所以函数f(x)的周期性为：一直减小 （第五个问题，我不太清楚，希望你原谅！O(∩_∩)O~）

Answer 3

最简单的方法就是先画出函数图象，虽然有根号，但只是影响函数值的取值和大下。大致的图形和三角函数图形相似。
由题知 f(x)>=0.
根号下的函数式是不能为负数的，即sin(2x-π/4)>=0，
则2kπ<=2x-π/4<=π+2kπ，k=0，1，2，3.....
定义域 x=[kπ+π/8，kπ+5π/8]
当sin(2x-π/4)取最大值为1时，函数f(x)取最大值，所以f(x)=[0，√2]
f(x)在[kπ+π/8，kπ+3π/8）为增函数，在（kπ+3π/8，kπ+5π/8]为减函数。
从图象可直接看出函数奇偶性，也有另一种方法，判断f(x)与f(-x)关系，
f(-x)=√2sin(-2x-π/4)=√2sin(2x+π/4)，f(x)=根号2sin(2x-π/4)=根号2sin(2x-π/4+2π)=根号2sin(2x+7π/4)，得出f(x)=f(-x),所以f(x)为偶函数。周期为π。
当然也可以用求导或比较的方法

Answer 4

∵函数f(x)=
√2sin(2x-π/4)
其定义域为R；值域为[-√2,
√2]
令f’(x)=
2√2cos(2x-π/4)=0
X1=kπ+3π/8，X2=kπ-π/8
f’’(x)=-
4√2sin(2x-π/4)==>
f’’(x1)<0，∴函数f(x)在x1处取极大值；f’’(x2)<0，∴函数f(x)在x2处取极小值；
∴kπ-π/8<x<
kπ+3π/8，函数f(x)单调增；kπ+3π/8<x<
(k+1)π-π/8，函数f(x)单调减；
∵f(-x)=
√2sin[-(2x+π/4)]
=
-√2sin(2x+π/4)，∴函数f(x)为非奇非偶函数
函数f(x)为周期函数，周期为π