Question

求定积分，题如图，求大神解答

Answer 1

　　解：分享一种解法。
　　设x=-t，则J=∫(-π/2,π/2)(sint)^2arctan[e^(-t)]dt，
　　∴2J=∫(-π/2,π/2)(sinx)^2{arctan[e^(-x)]+arctan(e^x)}dx。
　　再设y=arctan[e^(-x)]+arctan(e^x)，两边对x求导，有y'=0，∴y对任意x为常数，∴令x=0，则y=π/2，
　　而(sinx)^2=(1/2)(1-cos2x)、且为偶函数，∴2J=(π/2)∫(0,π/2)(1-cos2x)dx=(π/2)^2，
　　∴J=(1/8)π^2。
　　供参考。