Question

不定积分第二类换元法的题目..最好有能总结一下经验的高手来

感觉第二类方法比第一类方法难,有没有高手能介绍点经验?
1.∫lnx/x^(1/2) dx
2.∫(1-x^2)^(-3/2) dx
3.∫x(1+x)^(1/2) dx
4.∫1/(1+(x+1)^(1/2)) dx
把做的过程也写一下吧,不甚感激~

Answer 1

答：
1.令√x=t，则x=t^2，dx=2tdt。
原积分=∫ 2tln(t^2)/t dt
=∫ 4lnt dt
=4tlnt-4t + C
=4√x(1/2*lnx-1) + C

2.令x=sint，则cost=√(1-x^2)，dx=costdt。
原积分=∫ cost(1-(sint)^2)^(-3/2) dt
=∫ 1/(cost)^2 dt
=tant + C
=x/√(1-x^2) + C

3.原式
=∫ (x+1-1)√(x+1) dx
=∫ (x+1)^(3/2)-√(x+1) dx
=2/5*(x+1)^(5/2)-2/3*(x+1)^(3/2) + C

4.令√(x+1)=t，则x=t^2-1，dx=2tdt。
原积分=∫ 2t/(1+t) dt
=∫ (2t+2-2)/(1+t) dt
=∫ 2-2/(1+t) dt
=2t-2ln|1+t| + C
=2√(x+1)-2ln√(x+1) + C

总结一下，换元多用于去根号，将无理换成有理式，引入三角函数简化积分等，如果不太熟练的话，建议多做练习，将课本里的例题习题都做一遍，不够的话还可以找资料做。熟能生巧，做得多了自然有经验，就很熟悉的了。
最后更正一个小毛病：“不甚感激”意思是“不怎么感激”，正确表达是“不胜感激”。呵呵，以后在重大场合例如演讲或者写稿的时候注意不要弄错了。