Question

已知函数f(x)=x^2-2MX+M+1在区间【0，1】上有最小值-2，求M的值

Answer 1

f(x)=x^2-2MX+M+1=(x-m)^2-m^2+m+1，对称轴x=m，开口向上

当m≤0时，【0，1】在对称轴右，单调增，最小值f(0)=m+1=-2，m=-3；
当0＜m＜1时，对称轴在【0，1】区间内，最小值=极值=-m^2+m+1=-2，m=(1±根号13)/2，不符合0＜m＜1的条件，无解；
当m≥1时，【0，1】在对称轴左，单调减，最小值f(1)=1-2m+m+1=-2，m=4。

综上：m=-3 ，或4

Answer 2

解：由对称轴得x=m,
当m在[0,1]时，最小值为f(m)=m^2-2*m^2+m+1=2,即m^2-m+1=0,
无解
当m<0时，则在[0,1]为增函数，最小值为f(0)=m+1=2,解得m=1,不满足条件。
当m>1时，则在[0,1]为减函数，最小值为f(1)=1-2m+m+1=2,解得m=-2,不满足条件。
综上所述，m不存在，空集。

Answer 3

由f(x)=x^2-2MX+M+1
得f(x)=(x-M)^2+M
其最小值为M或M^2+M或(1-M)^2+M
所以M=-2或M^2+M=-2或(1-M)^2+M=-2
即M=-2
代入f(x)=x^2-2MX+M+1检验
得f(x)=(x+2)^2-2
其在【0，1】上的最小值为2
所以无解

Answer 4

对称轴x=M，开口向上，分三种情况分别讨论：
（1）M<0时，f(0)=M+1=-2得M=-3，显然成立；
（2）0<=M<=1时，顶点纵坐标M+1-M^2=-2，矛盾；
（3）M>1时，f(1)=2-M=-2,M=4,显然成立。
综上，M=-3 或4

Answer 5

f(x)=x^2-2MX+M+1整理的f(x)=（x-m）^2+m+1-m^2函数是关于x=m对称的，开口朝上的抛物线，(-∞，m)单调递减，（m,∞)为递增。【0，1】上有最小值-2，当对称轴m<0在，则【0，1】上是单调递增，f(x)min=f(0)=m+1=-2,解得m=-3,当m>1时，则【0，1】上是单调递减，f(x)min=f(1)=2-m=-2,解得m=4,当0≤m≤1是，f(x)min=f(m)=m+1-m^2=-2,解得m=(1±√13)/2,m不在【0，1】内，所以无解，所以m的值为m=4,或者m=-3.

Answer 6

不好意思，最近一直没有登陆百度。一楼wqqts解法完全正确。

再次说声对不起！！