Question

几道奥数题求解。 详细过程请写。

求不定方程 7x + 11y = 276 的正整数解 (分析过程请写)
103/35=a/5+b/7 a.b是正整数 求这2个数。
1/a + 1/b =1/3 其中a.b为自然数 且a>b 求a.b

Answer 1

1.
先找出满足要求的一组解：
276÷11=25余1
下面就要看几个11的和再加上1，能被7整除
11*5+1=56，能被7整除
此时
x=56÷7=8
y=25-5=20

7和11的最小公倍数为77
77÷7=11
77÷11=7
也就是说，7个11和11个7能互相转化
即x每次增加11，y每次减少7
除了刚才的x=8，y=20
满足要求的正整数解还有：
x=8+11=19，y=20-7=13
x=19+11=30，y=13-7=6

2.
103/35=a/5+b/7=(7a+5b)/35
7a+5b=103
我们知道，5的倍数，个位数字只有0,5这两种
对应的，7的倍数就要是3或8
1）5b的个位数字为5
那么7a的个位数字就要是8，a的个位数字就要是4
a=4，b=(103-4*7)/5=15
a=14，b=(103-14*7)/5=1
2)5b的个位数字为0
那么7a的个位数字就要是3，a的各位数字就是9
a=9，b=(103-9*7)/5=8
a=19,b=(108-9*17)＜0，不再讨论
综上，满足要求的解为：
a=4，b=15
a=14，b=1
a=9，b=8

3.
把分子，分母同时扩大相同的倍数，然后在分母的因数中找到两个，
使这两个数的和，等于分母

1/3=4/12=1/12+3/12=1/12+1/4
a=12,b=4

Answer 2

解：（1）7x＋11y＝276
7x＝276－11y
7x＝280－7y－4－4y
x＝40－y－4（y＋1）/7
①当y＋1＝7， y＝6 x＝30
②当y＋1＝14， y＝13 x＝19
③当y＋1＝21， y＝20 x＝8
（2）103/35＝a/5＋b/7
7a＋5b＝103
5b＝103－7a
5b＝105－5a－2－2a
b＝21－a－2（a＋1）/5
①当a＋1＝5, a＝4 b＝15
②当a＋1＝10, a＝9 b＝8
③当a＋1＝15, a＝14 b＝1
（3）1/a＋1/b＝1/3
3²＝9＝1×9
3＋1＝4
3＋9＝12
∴1/3＝1/4＋1/12
又：a＞b
∴a＝12, b＝4