Question

急！导数定义有关的一道典型例题

例1. 在设 在 的某邻域内有定义,则 在 可导的一个充要条件是
A) 存在 B) lim(n趋于无穷) n[f(a+1/n) - f(a)] 存在
C) lim(h趋于0) [f(a+h) - f(a)]/2h 存在 D) lim(h趋于0) [f(a) - f(a-h)]/h 存在。

请问为什么选择D？B项为什么错了？

Answer 1

B只能说明右导数存在，D是导数存在

Answer 2

B的1/h是趋近于0+的

Answer 3

D选项其实就是导数的定义，在D选项里，令x=a-h，则a=x+h，从而D选项=lim（h趋于0）〔f(x+h)-f(x)〕，该极限存在，则f(x)可导。反之，如果f(x)可导，则该极限存在。
B选项可以比照上面的方法，即B选项=lim（1/n趋于0）〔f(a+1/n)-f(a)〕/(1/n)，从形式上看就是把导数定义里面的h换成了1/n，但是1/n趋于0时是间断着趋于0的（因为n是取正整数的），而D选项里的h是连续着趋于0的。故B选项不正确。