Question

求二阶常系数线性非齐次微分方程y''-y=x^2的通解

求二阶常系数线性非齐次微分方程y''-y=x^2的通解

Answer 1

是不是可以观察出来呢？
若y=-x^2，则y''-y=x^2-2
令y=-x^2-2，则y''-y=x^2
故y=-x^2-2，是方程的特解
要求通解，容易想到(e^x)''-e^x=0及[e^(-x)]''-[e^(-x)]=0
故通解为y=-x^2-2+C[1]e^x+C[2]e^(-x)

Answer 2

-2-x^2+ C1 e^x +C2 e^-x = y
这个不可以降阶，只能按一般二阶的来算。

求解过程：
特征方程 r^2-1=0, r= -1 or r=1，齐次方程通解为C1 e^x +C2 e^-x = y
特解求法：
x^2属于 e^λx P(x)。。。λ=0，P(x)=x^2，λ不是特征方程的解，特解y*=x^k Q(x) e^λx
k=0, Q(x)为P(x)同次多项式，待定系数【这里是2次】。具体看高数书吧

Answer 3

性非齐次微分方程的通解=对应齐次微分方程的通解+特解
求解过程大致分以下两步进行：
1、求对应齐次微分方程y''-y=0...（1）的通解，方程（1）的特征方程为r^2-1=0，则r=1，-1
从而方程（1）的通解就是y=ce^x+de^(-x)，c、d为待求量，这里还需用到两个边界条件，不知有没有，就是f（0）=a，f‘（0）=b，a、b均为已知，用于带入通解以确定待求量c、d，否则就无法求了。
2、假设第一步中所需条件已知，现在就可以求特解了，构造一个带参数的特解（待定系数法），带入原方程，根据同类项对比就能解出系数，这里就构造如下待定特解：y=a0+a1*x+a2*x^2，带入原方程，可解得a0，a1，a2，这样就求出了特解