Question

对根号（a² - x²)dx求不定积分时，运用第二类换元法,设x=asint, -π/2<t<π/2，t的范围是怎么求

Answer 1

不定积分不用求范围，也不需要。
可以这样理解，首先你求的（a² - x²)的不定积分，由于是个初等函数，那么不定积分一定存在。
所以你在求解的过程中令x=asint，只要是有一部分t的范围使得x是单调的就行了，我这个意思是本来这里单调的t的范围是-π/2<t<π/2，但是其实t的范围就算是-π/2<t<0或者是其他的只要是在这个-π/2<t<π/2区间里就可以用这个方法。其实不根本不用管这个范围，因为他只是一个中间变量，它只是一种手段。就像有很多情况下的不定积分，你是从根号里直接出来的而不带着正负号，就是这个道理（因为不管你的t是取什么总有一部分是满足根号出来不用带符号的，那么通过这部分t求出来的不定积分，和你通过全部求出来的是一样的，因为不定积分只有一个除了那个常数）
其实定义里是要求你的换元函数必须是单调的，所以你要是硬要说是怎么求的X的范围，就是要满足单调性的，所以是-π/2<t<π/2。其实本来是还有其他区间也是单调的，比如你两边都加个2π，但是这事规定，就像cosx函数的区间是0到π。你可以查下初等函数的定义域范围。

Answer 2

a^2-x^2>=0
x^2<=a^2
-a<=x<=a
-a <=asint<=a
-1<=sint<=1
-π/2<t<π/2