Question

高等数学问题求助

1 求（1-2/X）^(X/2-1)当X趋向无穷大时候的极限
2 计算不定积分 ∫ X^2/(1+X^2)
3 计算F(X)在-1到1之间的定积分 ：X^3√(1-X^2)+1
4 曲线F(X)=1/1+X^2 与X轴所围成的面积是

Answer 1

1.x→∞时，lim(1-2/x)^(x/2-1)
=lim(1-2/x)^x/2/lim(1-2/x)
=lim[(1-2/x)^(-x/2)]^(-1)/1
=1/e
2. ∫ x²/(1+x²)dx
=∫ (1+x²-1)/(1+x²)dx
=∫dx-∫1/(1+x²)dx
=x-arctanx+c
3.令g(x)=x³√(1-x²)，显然g(-x)=-g(x)，∴g(x)是奇函数，故(-1→1)∫x³√(1-x²)dx=0
∴ 原式=0+(-1→1)∫dx=2
4.1/(1+x²)是偶函数
∴ S=(-∞→+∞)∫1/(1+x²)dx
=2(0→+∞)∫1/(1+x²)dx
=2[lim(x→+∞)arctanx-arctan0]
=π