Question

已知函数f（X）为定义在实数上的奇函数，图像关于直线X=1对称，求证f（X)周期函数

我才高一啊，解析详细一点行不行啊，现在的答案我都看不懂噢。。

Answer 1

奇函数必定关于原点对称，过原点。f(-x)=-f(x)
又关于x=1对称，f(1-x)=f(1+x)，
求周期就是f(x+T)=f(x)
可知f(x+2)=f((x+1)+1)=f(1-(x+1))=f(-x)=-f(x)
再加大2就可得到
f(x+4)=f((x+2)+2)= -f(x+2)= -(-f(x))=f(x)
所以T=4
做这种题目就是先要弄懂对称轴能够得到什么表达式。然后善于发现线索，比如你可以想想我怎么由f(1-x)=f(1+x)和f(-x)=-f(x)就能够想到先算算f(x+2)。找到规律后我有是怎么想到再算f(x+4)的。

Answer 2

x=-1对称
f(1+x)=f(1-x)
即f(2+x)=f(-x)
奇函数f(-x)=-f(x)
f(2+x)=-f(x)
-f(2+x)=f(x)

所以f(x+4)
=f[(x+2)+2]
=-f(x+2)
=f(x)
即f(x+4)=f(x)
所以f(x)是周期函数
T=4

Answer 3

函数图像关于直线X=1对称
所以有f(x)=f(2-x)
f(-x)=f(2+x)
又函数f（X）为定义在实数上的奇函数
所以有f(-x)=-f(x)=-f(2-x)=f(x-2)
所以有f(x+2)=f(x-2)
所以f(x)是周期函数

Answer 4

奇函数
f(x)=f(-x)(1)
f(x+1)=f(1-x)(2)
(1)中x=x-1
则f(-x)=f(1-x)
f(x)=f(x-1)
所以f(x-1)=f(x+1)
令x-1=t
f(t)=f(t+2)
周期T=2