Question

一道比较难的数学题

以知2次函数f(x)=ax^2+bx+c
1:若a>b>c，切f(1)=0.证明：f(x)的图象与x轴有两个相异交点
2：证明，若对x1.x2,切x1<x2 f(x1)不等于f(x2)则方程f(x)=f(x1)+f(x2)/2必有一实根在区间（x1,x2)内
3：在1的小问的条件下，是否存在m属于R，使f(m)=-a成立时，f(m+3)为正数

Answer 1

1 a+b+c=0 b=-（a+c) b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2＞0 所以f(x)的图象与x轴有两个相异交点
2 f(x)=f(x1)+f(x2)/2 所以有ax^2+bx+c=ax1^2+bx1+c+(ax2^2+bx2+c)/2 整理 ax^2+bx+c-{ax1^2+bx1+c+(ax2^2+bx2+c)/2 }=0 楼主自己整理 设有g(x)=ax^2+bx+c-{ax1^2+bx1+c+(ax2^2+bx2+c)/2 } 只需证 g（x1)*g（x2）＜0即可 楼主自己化简吧 纯属体力活
3 f(m)=am^2+bm+c=-a f（m+3）=a（m+3）^2+b（m+3）+c=f（m）+6ma+9a+3b=6ma+8a+3b >0 只需满足m＞（-8a-3b）/6a即可
如无意外 英爱没问题 楼主自己复查一下 有问题再问我吧 强烈要求加分

Answer 2

1 . f(1)=0 => a+b+c=0 因为a>b>c 所以a>0 c<0 b不确定
则(b平方-4ac)>0 有两个相异的实根 即f(x)的图象与x轴有两个相异交点
2 . 不妨设f(x1)>f(x2) 则f(x1)>(f(x1)+f(x2))/2>f(x2)
由于二次函数在(x1,x2)上连续 至少存在一个x0(x1<x0<x2) 使f(x0)=(f(x1)+f(x2))/2
同理f(x1)<f(x2)时也成立
3 . f(m)=-a<0 设f(x)=0的根为Xa,Xb
绝对值(Xb-Xa)=根号(b平方-4ac)/绝对值(a)
b=-a-c代入 绝对值(Xb-Xa)=绝对值(1-c/a)
a>b>c得 c=-a-b>-2a 即0>c/a>-2 即 绝对值(1-c/a)<3
即存在m属于R，使f(m)=-a成立时，f(m+3)为正数

Answer 3

x=1带入函数，有a+b+c=0，推得a>0,c<0.
0=ax^2+bx+c，b^2-4ac>0,有两个不同解