Question

三角行ABC的 两边AB、 AC的长是关于X的一元二次方程：x的平方 －（2K＋3）x +K 的平方＋3K ＋2＝0的两...

三角行ABC的 两边AB、 AC的长是关于X的一元二次方程：x的平方 －（2K＋3）x +K 的平方＋3K ＋2＝0的两个实数根，第三边BC 的长为5，试问：K 取何值时，三角形ABC是以 BC为斜边的直角三角形。（要求要具体步骤。谢谢。…）

Answer 1

不用解方程的，那样做就麻烦了
AC²+AB²=BC²
即（AC+AB）² - 2AC*AB=BC²
因为AC+AB=2K+3 AC*AB=K²+3K+2
又BC=5
故(2k+3)²-2(k²+3k +2)=25
解得 K=2或-5
当K=-5时，AC+AB=-7<0 ,舍去
所以K=2

Answer 2

∵AB+AC=2K+3
AB×AC=K²+3K+2
∴(AB+AC)²=AB²+AC²+2×AB×AC=(2K+3)²
∴AB²+AC²=(2K+3)²-2(K²+3K+2)=BC²=25
∴(2K+3)²-2(K²+3K+2)=25，整理得：(K-2)(K+5)=0，K1=2,K2=-5
∵⊿≥0,∴K≤1/18
K=-5

Answer 3

设方程x²-(2k＋3)x +k²+3k +2=0的两个根为r,s(r>0,s>0)
根据方程解性质得
r+s=2k+3
rs=k²+3k +2
勾股定理
AC²+AB²=BC²
r²+s²=5²
(r+s)²-2rs=25
(2k+3)²-2(k²+3k +2)=25
k²+3k-10=0
k=2

Answer 4

x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0
x^2-(2k+3)+(k+1)(k+2)=0
[x-(k+1)][x-(k+2)]=0
所以AB=k+1;AC=k+2
所以（k+1）^2+(k+2)^2=5^2
简化后k^2+3k-10=0
(k+5)(k-2)=0
所以k=2或k=-5

Answer 5

2