Question

5.求证:等轴双曲线上任一点到双曲线中心的距离是它到两焦点距离的等比中项

5.求证：等轴双曲线上任一点到双曲线中心的距离是它到两焦点距离的等比中项

Answer 1

证明：
因为证明焦点在x轴上的等轴双曲线和在y轴上的等轴双曲线证法相同，不妨设双曲线为x²-y²=a²
又因为证明此点在左支上或者右支上的方法相同，所以不妨设P(x,y)在右支上
∴b=a,c=√(a²+b²)=√2a
左准线：x=-a²/c=-a/√2，右准线：x=a²/c=a/√2
设P点到左焦点的距离为m，到右焦点的距离为n
根据双曲线定义：到定点距离与到定直线距离的比为一个常数e，且这个常数e大于1的点的集合为双曲线。
所以m/(x+a/√2)=e，n/(x-a/√2)=e，∴m=(x+a/√2)e，n=(x-a/√2)e
e=c/a=√2
∴mn=(x²-a²/2)e²=2x²-a²
又∵P到原点的距离的平方为：x²+y²=x²+(x²-a²)=2x²-a²=mn
∴P点到双曲线中心的距离是它到两焦点距离的等比中项