Question

1/(1-x)泰勒展开式 要详细过程 答案是1+x+x2+x3……

Answer 1

泰勒公式：f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)^2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)^n
现在f(x)=1/(1-x)，求导得到f'(x)= -1/(1-x)^2 *(-1)=1/(1-x)^2，f''(x)= -2/(1-x)^3 *(-1)=2/(1-x)^3，以此类推得到fn(x)=n! /(1-x)^(n+1)
代入a=0，那么f(0)=1，f'(0)=1，fn(0)=n!
所以解得f(x)=1+1!/1! *x+2!/2! *x^2+...+n!/n! *x^n

扩展资料

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。

参考资料百度百科-泰勒公式

Answer 2

泰勒展开式又叫幂级数展开法
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)^2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)^n
现在f(x)=1/(1-x)
那么求导得到f'(x)= -1/(1-x)^2 *(-1)=1/(1-x)^2
f''(x)= -2/(1-x)^3 *(-1)=2/(1-x)^3
以此类推得到fn(x)=n! /(1-x)^(n+1)
代入a=0，那么f(0)=1
f'(0)=1，fn(0)=n!
所以解得f(x)=1+1!/1! *x+2!/2! *x^2+...+n!/n! *x^n
即f(x)=1+x+x^2+x^3+…+x^n

Answer 3

要将1/(1-x)泰勒展开，我们首先需要找到1/(1-x)的麦克劳林级数。这是一个典型的泰勒级数展开的例子。

1. 首先，我们需要找到函数f(x) = 1/(1-x)在x=0处的导数。我们可以使用以下麦克劳林级数展开：

f(x) = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + ...

f'(x) = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + ...

所以：

f'(0) = 1

2. 现在我们需要找到函数f(x) = 1/(1-x)在x=0处的二阶导数。我们可以使用以下麦克劳林级数展开：

f(x) = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + ...

f''(x) = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + ...

所以：

f''(0) = 1

3. 现在，我们可以使用泰勒级数展开公式来计算1/(1-x)的麦克劳林级数。根据泰勒级数展开公式，如果f(x)在x=a处具有n阶导数，则f(x)的泰勒级数展开为：

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + R_n(x)

其中，R_n(x)是余项，表示泰勒级数的近似误差。当我们将x=0和f(x) = 1/(1-x)代入公式时，我们得到：

1/(1-x) = 1 - x + x²/2! - x³/3! + x⁴/4! - ... + (-1)^n * x^n/n! + R_n(x)

4. 现在我们已经得到了1/(1-x)的泰勒级数展开。请注意，这个级数是收敛的，因此我们可以将其表示为有限项级数。然而，在实际应用中，我们通常只保留前几项，因为它们提供了足够精确的近似值。例如，当x很小时，我们可以保留前几项来获得一个简化的近似表达式：

1/(1-x) ≈ 1 + x + x²/2 - x³/3 + x⁴/4 - ...

希望这个详细的过程能帮助你理解如何将1/(1-x)泰勒展开。

Answer 4

为了得到1/(1-x)的泰勒展开式，我们可以使用以下方法：
首先，将1/(1-x)写为：
1 / (1 - x) = (1 + x + x^2 + x^3 + ...) / (1 - x)
然后，将分子和分母都做级数展开：
(1+x+x2+x3+...)=1+x+x2+x3+...
(1−x)(1+x+x2+x3+...)=1+x−x2−x3−...
将分子和分母都做级数展开后的式子相除，得到：
1 + x - x^2 - x^3 - ...
因此，1/(1-x)的泰勒展开式为：
1 + x + x^2 + x^3 + ...

Answer 5

要得到函数 f(x) = 1/(1-x) 的泰勒展开式，我们可以使用幂级数展开的方法。首先，我们需要找到函数在某个点的各阶导数。对于 f(x) = 1/(1-x)，我们可以使用求导法则得到：

f'(x) = (1-x)^(-2)
f''(x) = 2(1-x)^(-3)
f'''(x) = 2*3(1-x)^(-4)
...
f^n(x) = n!/(1-x)^(n+1)

然后，我们可以使用泰勒展开公式来表示 f(x)：

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...

将 a 设为 0，即展开点为 x = 0，代入函数 f(x) 和对应的导数，我们可以得到：

f(x) = f(0) + f'(0)x/1! + f''(0)x^2/2! + f'''(0)x^3/3! + ...

由于 f(0) = 1，而 f'(0) = 1，f''(0) = 2，f'''(0) = 2*3，以此类推，我们可以将它们代入展开式：

f(x) = 1 + x + (2x^2)/2! + (2*3x^3)/3! + ...

化简可得：

f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ...

因此，函数 f(x) = 1/(1-x) 的泰勒展开式为 1 + x + x^2 + x^3 + ...。这是一个无穷级数，表示在给定条件下，函数可以近似地表示为该级数的和。