Question

已知a≤0,求函数f(x)=ax^3+[3-（3a/2）]x^2-6x+1的单调区间

请写出详细过程

Answer 1

这种解法比较合理：
f(x)=ax³+[3-(3a/2)]x²-6x+1
f(x)'=3ax²+2[3-(3a/2)]x-6
f(x)'=3ax²+(6-3a)x-6
f(x)'=(3ax+6)(x-1)

（1）
当a=0时
f(x)是开口向上的二次函数
x=1是对称轴
所以f(x)单调减区间为(-∝,1)，单调增区间为(1,∝)

（2）
当a＜0时
①
当-a/2≤1，即0＞a≥-2时
令 f(x)'>0
(3ax+6)(x-1)>0
所以(-∝,-2/a)∪(1,∝)是f(x)单调增区间
令 f(x)'<0
(3ax+6)(x-1)<0
所以(2/a,1)是f(x)单调减区间
②当-a/2＞1 即a＜-2时
令 f(x)'>0
(3ax+6)(x-1)>0
所以(-∝,1)∪(-2/a,∝)是f(x)单调增区间
令 f(x)'<0
(3ax+6)(x-1)<0
所以(1,-2/a)是f(x)单调减区间

Answer 2

f(x)=ax³+[3-(3a/2)]x²-6x+1
f(x)'=3ax²+2[3-(3a/2)]x-6
f(x)'=3ax²+(6-3a)x-6
f(x)'=(3ax+6)(x-1)

（1）
当a=0时
f(x)是开口向上的二次函数
x=1是对称轴
所以f(x)单调减区间为(-∝,1)，单调增区间为(1,∝)

（2）
当a＜0时
①
当-a/2≤1，即0＞a≥-2时
令 f(x)'>0
(3ax+6)(x-1)>0
所以(-∝,-2/a)∪(1,∝)是f(x)单调增区间
令 f(x)'<0
(3ax+6)(x-1)<0
所以(2/a,1)是f(x)单调减区间
②当-a/2＞1 即a＜-2时
令 f(x)'>0
(3ax+6)(x-1)>0
所以(-∝,1)∪(-2/a,∝)是f(x)单调增区间
令 f(x)'<0
(3ax+6)(x-1)<0
所以(1,-2/a)是f(x)单调减区间

Answer 3

解：f'(x)=3ax²+(6-3a)x-6=(x-1)(3ax+6)
若a=0,f(x)=3x²-6x+1,∴函数单调递增区间为[1,+∞),单调递减区间为(-∞,1)；
若a≠0,a＜-2，∴当x∈(-∞,-2/a]∪[1,∞)时，有f'(x)＜0，函数单调递减,当x∈(-2/a,1)时，
f‘（x)＞0，函数单调递增；
同理，若a∈(-2,0),函数单调递减区间为(-∞,1]∪[-2/a,+∞),单调递增区间为(1,-2/a)；
若a=-2时，f'(x)=6(1-x²),函数单调递增区间为(-1,1),单调递减区间为(-∞,-1]∪[1,+∞).