Question

一道初三二次函数题

边长为4正方形剪去一个角后成五边形BAEDC，（右上角点为K），BK=2，ck=1，在BC 上找一点P,使GPFE面积最大

Answer 1

取E为原点，ED为x轴，EA为y轴. 按题意，各点的坐标为:
E(0, 0)
D(4, 0)
A(0, 4)
K(4, 4)
B(2, 4)
C(4, 3)
直线BC的方程为:
(y - 4)/(x-2) = (3-4)/(4-2)
2(y - 4) = 2 -x
设P点的坐标为P(a, b), 则 2(b-4) = 2 -a
b = 5 -0.5a (1)
GPFE面积为: S = ab = a(5-0.5a) = -0.5a^2 + 5a = -0.5(a-5)^2 +12.5
a = 5时GPFE面积时最大, P点的坐标为P(5, 5/2).
如果P可以在直线BC上的任何处，这就是答案。
如果P只能在线段BC上, 还需另加讨论.
S = -0.5(a-5)^2 +12.5 是以(5, 5/2)为顶点，开口向下的抛物线. P的横坐标离5越远，GPFE面积越小. 五边形完全在直线x=5左侧，于是P的横坐标为4时GPFE面积最大, P点的坐标为P(4, 3) (与C点重合).

Answer 2

解：
做辅助线BH⊥PG交于H点，CI⊥PF交于I点，则
易证△BHP 相似于△PIC相似于△CKB
BK=2，ck=1
AB=2;CD=3，BC=根号5
设PG=X,则，2=<x<=4;
PH=X-2
易证△BHP 相似于△PIC相似于△CKB
所以
CK:BK=PI:IC=BH:HP=1:2
所以BH=1/2（x-2）,BP=根号5/2（x-2)
所以PC=BC-BP=根号5/2（4-x）
所以PI=1/2（4- x）
所以PF=PI+IF=PI+CD=1/2（4-x)+3=5-1/2x
所以S=PF X PG=x(-1/2X+5)=- i/2(x-5)^2+12.5
当x=4时，显然面积最大，此时P点与c点重合