Question

连续型随机变量X,Y相互独立且同一分布,证明P{X<=Y}=1/2

Answer 1

设密度函数为f(x),分布函数为F(x)

P(X<=Y)=(x<=y积分)∫∫(x<=y积分)f(x)f(y)dxdy

=∫(-∞,+∞)f(x)dx∫(x,+∞)f(y)dy

=∫(-∞,+∞)f(x)[1-F(x)]dx

=∫(-∞,+∞)[1-F(x)]dF(x)

=-[1-F(x)]^2/2|(-∞,+∞)

=1/2

按照随机变量可能取得的值，可以把它们分为两种基本类型：

离散型

离散型（discrete）随机变量即在一定区间内变量取值为有限个或可数个。例如某地区某年人口的出生数、死亡数，某药治疗某病病人的有效数、无效数等。离散型随机变量通常依据概率质量函数分类，主要分为：伯努利随机变量、二项随机变量、几何随机变量和泊松随机变量。

连续型

连续型（continuous）随机变量即在一定区间内变量取值有无限个，或数值无法一一列举出来。例如某地区男性健康成人的身长值、体重值，一批传染性肝炎患者的血清转氨酶测定值等。

扩展资料

随机变量在不同的条件下由于偶然因素影响，可能取各种不同的值，故其具有不确定性和随机性，但这些取值落在某个范围的概率是一定的，此种变量称为随机变量。随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。

如分析测试中的测定值就是一个以概率取值的随机变量，被测定量的取值可能在某一范围内随机变化，具体取什么值在测定之前是无法确定的，但测定的结果是确定的，多次重复测定所得到的测定值具有统计规律性。随机变量与模糊变量的不确定性的本质差别在于，后者的测定结果仍具有不确定性，即模糊性。

Answer 2

设密度函数为f(x)，分布函数为F(x)
P(X<=Y)=(x<=y积分)∫∫(x<=y积分)f(x)f(y)dxdy
=∫(-∞,+∞)f(x)dx∫(x,+∞)f(y)dy
=∫(-∞,+∞)f(x)[1-F(x)]dx
=∫(-∞,+∞)[1-F(x)]dF(x)
=-[1-F(x)]^2/2|(-∞,+∞)
=1/2