Question

怎么证明sinx>2x/π x∈(0,π/2)

Answer 1

利用导数
f(x)=sinx-2x/π， x∈(0,π/2)
则 f'(x) = cosx - 2/π，令f'(x)=0，得x = arccos(2/咐银猜π)
在x∈(0,arccos(2/π)),f'(x)>0; x∈(arccos(2/π),π/2),f'(x)<0
又f(0)=f(π/2)=0 ,于是f(x)>0，结衡型论成立搏做

Answer 2

令友哪f(x)=sinx-(2x/π).x∈[0,π/2].f'(x)=cosx-(2/π).令f'(x)=0.==>x=arccos(2/π).∴罩咐在x=arccos(2/π)处，函数f(x)取得极大值，故f(x)min=min={f(0),f(π/2)}=0.∴当x∈(0,π/2)时，好闷码f（x)＞f(0)=0.即sinx＞2x/π。

Answer 3

证：
令f(x)=x/sinx (x∈(0,π/2) )
x,sinx均>0
f'(x)=[sinx+xcosx]/(sinx)^2>0
x/sinx在(0,π/2)上漏链伍单调递增。
x=π/2时，x/sinx=π/2
因此当x∈返或(0,π/2)时，x/sinx恒<π/2
x/sinx<π/2
sinx>唤手2x/π