Question

求一道概率题

小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径为2m和3m的同心园（如图），然后蒙上眼睛在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴部分小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算。
（1）如果请你来当裁判，你认为游戏公平吗？为什么？
（2）游戏结束后，小明边走边想，“能否用频率估计概率的方法来估算非规则图形的面积呢？”对这个问题你怎么想？请你设计一个方案，解决这一问题（要求画出图形，说明设计步骤、原理，写出公式）。

Answer 1

（1）这个游戏不公平，蒙上眼睛掷石子落在任意位置的概率是相同的，设石子落在地点i的概率为Pi，这落在指定区域的概率为P=P1+P2+……由于P1=P2=P3=……，则P=Pi*A。图示内圆是面积是4*3.14，圆环的面积是5*3.14，面积不相同，则两方取胜的概率不同，即游戏不公平
（2）我认为可以
（虽然我会画图，但是我不会上传，不好意思）就以本题为例，在外圆内取任意图形，用同样的方法来做这个游戏。
1、画一个半径为3m的圆，在圆内画任意图形；
2、向圆内掷100粒石子；
3、数出落在任意图形内的石子数量为x；
根据石子落在任意位置的概率都相等的原理，利用积分即可算出落在两个图形中石子的数量以两个图形的面积成正比，即石子落在两个图形中的概率成正比，设落在圆内的概率是1，则落在任意图形内的概率是x/100。即
1*3.14*9=x/100*A
一次方程，一个未知数，很好解x

Answer 2

(1)不公平
小圆面积=π2²=4π
大圆面积=π3²=9π
于是阴影面积=大圆面积-小圆面积=9π-4π=5π
蒙眼投中阴影部分的概率=阴影面积÷大圆面积=5π÷9π=5/9
蒙眼投中小圆部分的概率=小圆面积÷大圆面积=4π÷9π=4/9
显然小明获胜的概率要小一些。
（2）
可以通过测试频率的方法来测出不规则图形面积
方法设计如下。
将待定面积的不规则图形用一规则图形包围，比如一个不规则多边形，用圆形将其包围。
算出规则图形面积，记为S
蒙眼向这两个图形投掷质点，当投掷次数足够多时，记录下落入不规则图形的质点数量n,和落入规则图形内且不规则图形外的质点数量m。
所投掷的质点总数为(m+n)，落入不规则部分的质点总数为n。
设不规则图形面积为S'
通过（1）中概率的求解我们可以得到
S'/S=n/(m+n)
于是所求不规则图形面积S'=S n/(m+n)