Question

已知二次函数f(x)=ax^2+2bx+c中,a、b、c为整数,且f(0)、f(1)是奇数

（1）问a是奇数还是偶数，并说明理由。
(2)证明函数f(x)不存在整数零点。

Answer 1

(1) f(0) = c 而 f（0）为奇数，所以c为奇数
f（1） = a + 2b + c ， 2b为偶数，c为奇数，f（1）为奇数，所以a为偶数。
（2）当x为偶数时，ax^2为偶数，2bx为偶数，c为奇数，进行加减运算之后，结果肯定为奇数，所以不会等于零，所以不存在偶数零点。
当x为奇数时，ax^2为偶数，2bx为偶数，c为奇数，设g（x） = f（x）-f（0） = ax^2 + 2bx，那么g（x） = 偶数+偶数 = 偶数，那么f（x） = g（x) +f（0）= 偶数 + 奇数 = 奇数，因此f（x）仍旧不可能为0，所以不存在奇数零点。
所以f（x）不存在整数零点。

Answer 2

（1）a是偶数，原因是：当x=0时，f(0)是奇数，则推出c是奇数；又当x=1时，f(1)是奇数，可得a+2b+c是奇数，有前面知道c是奇数，则a+2b为偶数，故a只能为偶数。
（2）给f(x)求导数，并让f(x)的导数等于0，证明f(x)的导数等于0所产生的方程无整数解即可。

Answer 3

（1）
f(0)=c c为奇数
f(1)=a+2b+c为奇数 2b为偶数，a+c为奇数。两个奇数相加肯定为偶数，所以a为偶数。
（2）
因为c为奇数，0为偶数。
所以f(0)不等于0，那么f(x)不存在整数零点.

Answer 4

1、由f(0）是奇数知，c为奇数
由f(1)是奇数知，a+2b+c为奇数，而c为奇数，2b必为偶数，所以a必为偶数，因为奇数＋奇数，定为偶数。