Question

高一函数问题，求顶尖高手

已知函数f(x)=loga(底数)（ax^2-x+0.5）(真数)在区间【1.，2】上恒为正，求a的取值范围。
②a<1，且 ax^2-x+0.5在[1,2]上小于1恒成立,大于0也要成立！！！！！

Answer 1

为了打字方便，记f(x)=log(a,ax²-x+0.5)
f(x)在[1,2]上恒为正数 推出：
① a>1，且 ax^2-x+0.5在[1,2]上大于1恒成立
②a<1，且 ax^2-x+0.5在[1,2]上小于1恒成立，大于等于0恒成立..感谢补充！

解不等式组①：
ax^2-x+0.5>1
ax^2-x-0.5>0
令g(x)=ax^2-x-0.5
△＜0
或者△＞0，且g(1)>0,g(2)>0,对称轴 1/2a >2或者<1
△=1+2a<0,a<-1/2(舍去)
所以△不可能小于0
a-1.5>0
4a-2.5>0
a>1.5

a>0.5..

所以a>1.5

同理解不等式组②：
0<a<1
ax²-x+0.5<1
ax²-x-0.5<0
g(1)<0
g(2)<0
a-1.5<0
4a-2.5<0
a<5/8

补充：
ax²-x+0.5>0
令u(x)=ax²-x+0.5
△小于0 1-2a < 0 , a>1/2
△大于0 a<1/2 ,u(1)>0,a＞1/2所以不可能取到

所以1/2<a<5/8

综上：
a∈(1/2,5/8)∪(3/2,+∞)

Answer 2

0<a<1时
ax^2-x+0.5<1,ax^2-x-0.5<0
x=1代入得a<1.5，x=2代入得a<0.625
故0<a<0.625
a>1时
ax^2-x+0.5>1,ax^2-x-0.5>0
x=1代入得a>1.5，x=2代入得a>0.625
故a>1.5
即0<a<0.625或a>1.5