Question

抛物线与X轴相交于A（-1,0）B（3,0）两点，与y轴交于点C（0,3）

抛物线与X轴相交于A（-1,0）B（3,0）两点，与y轴交于点C（0,3）
1.求抛物线的解析式
2.设抛物线的顶点为D，在其对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在请说明理由
3.抛物线上是否存在点M，使以B、C、D、M为顶点的四边形为直角梯形？若存在求出点M的坐标；若不存在请说明理由

Answer 1

(1)设抛物线解析式为y=ax^2+bx+c,
因为抛物线过（0，3），所以c=3.
又因为抛物线与X轴交与（-1，0）（3，0），所以由韦达定理得；
-b/a=x1+x2=2 , c/a=x1乘x2 = -3 ,
解得，a= -1,b=2
所以y= -X^2+2X+3

(2)存在。
P点坐标为 [-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a)]，即（1，4）
当PD=PC时, D,C关于抛物线对称轴X=1对称，
所以D（2，3）

当CD=PD时，D即CP中垂线与抛物线的交点，可求CP中垂线解析式为y=-x+4
联立抛物线与直线方程可解X1= ,X2= ,