Question

高二数学圆锥曲线题

1。已知双曲线C:x²/a²-y²/b²=1（a>o,b>o)的右焦点为F，过F且斜率为根号三的直线交C于A,B两点。若向量AF=4向量FB，则双曲线C的离心率为多少？
2。若抛物线y²=2px（p>o)上存在两点A,B。且OA⊥OB，证明：直线AB必过定点。

需要详细的解答，在下感激不尽。

Answer 1

1、这是2009年全国高考题。一些参考书上给的答案太拉杂，我用平面几何法做，简单明了。
设AF=4m，BF=m。过A、B分别作双曲线的准线的垂线，垂足分别为A1、B1，根据双曲线定义，e=AF／AA1得AA1=4m／e，同理BB1=m／e，又因直线斜率√3，即角BAA1=60°，cos60°=(AA1-BB1)／AB=（3m／e）／5m=1／2， 解得e=6／5。
2、设A（（y1）^2／2p,y1）,B((y2)^2／2p,y2),有OA⊥OB得y1y2=-4p^2.有两点坐标得直线方程
（y-y1）／(y2-y1)=（x-（y1）^2／2p)／((y2)^2／2p-(y1)^2／2p)即y=(2px-4p^2)／(y1+y2)
显然x=2p时，y=0。即直线AB过定点（2p,0）.