高二数学圆锥曲线题
1。已知双曲线C:x²/a²-y²/b²=1(a>o,b>o)的右焦点为F,过F且斜率为根号三的直线交C于A,B两点。若向量AF=...
1。已知双曲线C:x²/a²-y²/b²=1(a>o,b>o)的右焦点为F,过F且斜率为根号三的直线交C于A,B两点。若向量AF=4向量FB,则双曲线C的离心率为多少?
2。若抛物线y²=2px(p>o)上存在两点A,B。且OA⊥OB,证明:直线AB必过定点。
需要详细的解答,在下感激不尽。 展开
2。若抛物线y²=2px(p>o)上存在两点A,B。且OA⊥OB,证明:直线AB必过定点。
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1、这是2009年全国高考题。一些参考书上给的答案太拉杂,我用平面几何法做,简单明了。
设AF=4m,BF=m。过A、B分别作双曲线的准线的垂线,垂足分别为A1、B1,根据双曲线定义,e=AF/AA1得AA1=4m/e,同理BB1=m/e,又因直线斜率√3,即角BAA1=60°,cos60°=(AA1-BB1)/AB=(3m/e)/5m=1/2, 解得e=6/5。
2、设A((y1)^2/2p,y1),B((y2)^2/2p,y2),有OA⊥OB得y1y2=-4p^2.有两点坐标得直线方程
(y-y1)/(y2-y1)=(x-(y1)^2/2p)/((y2)^2/2p-(y1)^2/2p)即y=(2px-4p^2)/(y1+y2)
显然x=2p时,y=0。即直线AB过定点(2p,0).
设AF=4m,BF=m。过A、B分别作双曲线的准线的垂线,垂足分别为A1、B1,根据双曲线定义,e=AF/AA1得AA1=4m/e,同理BB1=m/e,又因直线斜率√3,即角BAA1=60°,cos60°=(AA1-BB1)/AB=(3m/e)/5m=1/2, 解得e=6/5。
2、设A((y1)^2/2p,y1),B((y2)^2/2p,y2),有OA⊥OB得y1y2=-4p^2.有两点坐标得直线方程
(y-y1)/(y2-y1)=(x-(y1)^2/2p)/((y2)^2/2p-(y1)^2/2p)即y=(2px-4p^2)/(y1+y2)
显然x=2p时,y=0。即直线AB过定点(2p,0).
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