Question

请会的亲帮忙解决一道数学题，高一的~~~

已知奇函数f(x)是R上的增函数,是否存在实数m,使得f(cos²α-4)+f(4m-2mcosα)>f（0）对所有的α∈[0，π/2]恒成立？如果存在，求m的范围；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

cosα∈[0，1],故cos2α-4为负数，而4m-2mcosα上下限就为2m、4m，如果m为0或负数，明显f(cos2α-4)+f(4m-2mcosα)＜0＝f（0），故m一定是正数。则f(cos2α-4)+f(4m-2mcosα)=f(4m-2mcosα)-f(4-cos2α)，这就要求(4m-2mcosα)-(4-cos2α)＞0，即m＞(4-cos2α)/（4-2cosα）=（2+cosα）/2，因为要对α∈[0，π/2]恒成立，故取cosα=1代入，m＞3/2。

Answer 2

因为f(x)是奇函数, 所以f(0)=0,f(cos²α-4)=-f(4-cos²α),所以f(4m-2mcosα)>f(4-cos²α),又函数f(x)是R上的增函数,
所以4m-2mcosα>4-cos²α, 解得cos²α-2mcosα+4m-4>0,又α∈[0，π/2],所以(-2m)^2-4*(4m-4)>=0,从而(m-2)^2>=0，又cosα+2>2m
0=<cosα=<1
所以m>1.5

所以m的范围m>1.5

Answer 3

f(0)=0,
f(cos²α-4)>-f(4m-2mcosα)
奇函数
f(cos²α-4)>f(2mcosα-4m）
增函数
cos²α-4>2mcosα-4m
cosα-2<0
cosα+2>2m
0=<cosα=<1
m>1.5
应该是这样，注意不等式两边同除负数，不等号反向。

Answer 4

f（0）=0
f(cos²α-4)>-f(4m-2mcosα)=f(-4m+2mcosα)
cos²α-4>-4m+2mcosα
cos²α-4+4m-2mcosα>0
m>(4-cos²α)/(4-2cosa)=(2+cosa)/2
cosa∈[0,1]
(2+cosa)/2∈[1,3/2]
所以m>3/2

Answer 5

由奇函数得知F（0）=0
cos²α-4<0
只要4m-2mcosα>4-cos²α恒成立就可以