Question

初二数学题

以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=4，AO=6根号2，求AC的长。

Answer 1

解：
设AO交BC于D。
作OO'⊥BC于O'，连接O'A

∵ O是正方形BCEF中心
∴ OB=OC
∵ OO'⊥BC
∴ O’是BC中点
又 BC是Rt△ABC 和 Rt△OBC 的斜边
∴ O’A= O’B= O’C= O’O

以O’为圆心，以O’A为半径作圆O’
则圆O’过A、B、C、O点，且BC是直径，O是弧BC的中点
∠BAO=1/2∠BO’O=45°
∠CAO=1/2∠CO’O=45°
∴∠BAO=∠CAO，另外可知 AD是直角平分线
即∠BAO=∠DAC
又∠AOB=∠ACD （同弧）
∴△AOB∽△ACD
所以AB/AD=AO/AC

设AC长度为x
Rt△ABC中，AD是直角平分线
∴ AD = (√2)*(AB*AC)/(AB+AC) = (√2)*4x/(4+x)
∵ AB/AD=AO/AC
∴ 4 / (√2)*4x/(4+x) = 6√2 / x
解之得：x=8
即AC=8