关于线性变换可逆的证明题
设ε1，ε2，…，ε3是线性空间V的一组基，σ是V上的线性变换，证明σ可逆当且仅当σε1，σε2，…，σε3线性无关。...
设ε1，ε2，…，ε3是线性空间V的一组基，σ是V上的线性变换，证明σ可逆当且仅当σε1，σε2，…，σε3线性无关。
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设k1σε1+k2σε2+k3σε3=0
必要性.
k1σε1+k2σε2+k3σε3=0
σ(k1ε1+k2ε2+k3ε3)=0
两边作逆变换,得
k1ε1+k2ε2+k3ε3=0
从而,k1=k2=k3.
充分性.
因σε1,σε2,σε3线性无关
故是V的一组基
从而存在一个线性变换μ使得,
μ(σε1)=ε1,μ(σε2)=ε2,μ(σε3)=ε3
由可逆变换的定义知道,μ为σ逆变换.
这个结果可以推广到n维线性空间上面去.
必要性.
k1σε1+k2σε2+k3σε3=0
σ(k1ε1+k2ε2+k3ε3)=0
两边作逆变换,得
k1ε1+k2ε2+k3ε3=0
从而,k1=k2=k3.
充分性.
因σε1,σε2,σε3线性无关
故是V的一组基
从而存在一个线性变换μ使得,
μ(σε1)=ε1,μ(σε2)=ε2,μ(σε3)=ε3
由可逆变换的定义知道,μ为σ逆变换.
这个结果可以推广到n维线性空间上面去.
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